Question

设双曲线x²/a²—y²/b²=1(0<a<b)的半焦距为c,直线L过（a,0),(0,b)两点，

下接：已知原点到直线L的距离为(根号3)c/4,则双曲线的离心率是？

Answer 1

L是x/a+y/b=1
bx+ay-ab=0
所以原点到L距离d=|0+0-ab|/√(a²+b²)
因为c²=a²+b²
所以ab/c=√3c/4
ab=√3c²/4
两边a²b²=3c^4/16
a²(c²-a²)=a²c²-a^4=3c^4/16
3c^4-16a²c²+16a^4=0
吧c²看做未知数
则c²=4a²,c²=4a²/3
所以e=c/a=2或2√3/3

追问

一个值，是2,再看看为什么不要2√3/3，悬赏提高30

追答

哦，对不起
a2
所以c²/a²=4/3舍去

Answer 2

直线方程为
x/a+y/b=1
原点到直线距离为
1/√[(1/a)^2+(1/b)^2]
=√3c/4
平方得
a^2b^2/(a^2+b^2)=3c^2/16
b^2=c^2-a^2
a^2(c^2-a^2)/c^2=3c^2/16

3c^4-16a^2c^2+16a^4=0
(3c^2-4a^2)(c^2-4a^2)=0
3c^2-4a^2=0或c^2-4a^2=0

c^2/a^2=4/3=e^2或c^2/a^2=4=e^2
e=2√3/3或e=2

Answer 3

易得直线l方程为x/a+y/b=1，即bx+ay-ab=0

原点到直线l的距离d=|-ab|/√(a²+b²)=(√3/4)c

等号两边同平方化简得

3a^4-10a^2b^2+3b^2=0

(3a²-b²)(a²-3b²)=0

∴a²=b²/3（另一解不满足b>a舍去）

∴e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+b²/a²=4

又e>0

∴e=2