Question

如图,△ABC中,AP平分∠BAC,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,EF交AP于D.求证:AP垂直平分EF

Answer 1

：∵AD平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，
∴pD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△ADP和Rt△AEP，AD=APFD=DE，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AF=AE（全等三角形对应边相等），
又∵AD平分∠BAC交BC于P
∴AP垂直平分DE（等腰三角形三线合一）．

Answer 2

证明：∵AD平分∠BAC，PE⊥AC,PF⊥AB
∴P在线段EF的垂直平分线上，
在Rt△APE和Rt△APF中
AP=AP,PE=PF
∴Rt△APE≌Rt△APF，
∴AE=AF，
∴A点在EF的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AP垂直平分EF