Question

已知互不相等的实数a,b,c满足a+1/b=b+1/c=c+1/a=t,则t=_____.

Answer 1

b=1/(t-a)
c=(t-a)/(t^2-at-1)
又c+1/a=t，c= t - 1/a = (t-a)/(t^2-at-1)
展开得 at^3-(a^2+1)t^2 - at + a^2 + 1 = 0
两边除以a,得
t^3 - ( a + 1/a )t^2 - t + ( a + 1/a ) = 0
设x=a + 1/a，得
x^3 - xt^2 - t+ x=0
分解因式
( t - x) ( t+ 1 ) ( t - 1 ) =0。
若t=x，则a+1/b = t = a+1/a，得b=a，与题意不符。
所以 t=1 或 t=-1

追问

c=(t-a)/(t^2-at-1)
这是为什么？

Answer 2

∵a=t-1/b,1/a=t-c,
所以1=（t-1/b)(t-c)，t^2-t(bc+1)/b+c/b-1=0
因为b+1/c=t所以bc+1=tc
所以t^2-c/bt^2+c/b-1=0
即(1-c/b)t^2=1-c/b
t^2=1
t=1 或 t=-1