Question

已知 如图 在RT三角形abc中 角C=90 角B=5角A CD垂直于AB 垂足为D 求证 AB=4CD

速度

Answer 1

显然，B=75°，A=15°，在AC上取一点E，使∠EBC=60º，那么∠EBA=15º=∠A，所以AE=EB，
设BC=x，那么容易得到AE=EB=2x，所以EC=√(EB²-BC²)=√3x，所以AC=AE+EC=(2+√3)x，
因此AB=√(AC²+BC²)=√(8+4√3)x=√[(√2)²+(√6)²+2√12]x=(√2+√6)x，（二重根式有化简方法，自己去了解），由三角形面积公式，得AC·BC=CD·AB，得
CD=AC·BC/AB=[(2+√3)x²]/[(√2+√6)x]=(√6+√2)x/4，所以CD/AB=[(√6+√2)x/4]/(√2+√6)x=1/4，
因此AB=4CD。

此题用高中方法求解更快，显然AC=AB·cosA=AB·cos15°，BC=AB·cosB=AC·cos75º，
由AC·BC=CD·AB，得
CD=AC·BC/AB=AB·cos15º·cos75º=AB·0.5·[cos(75º-15)+cos(75º+15)]=0.5·AB·cos60º=AB/4
所以AB=4CD。

Answer 2

B=75°，A=15°，在AC上取一点E，使∠EBC=60º，那么∠EBA=15º=∠A，所以AE=EB，
设BC=x，那么容易得到AE=EB=2x，所以EC=√(EB²-BC²)=√3x，所以AC=AE+EC=(2+√3)x，
因此AB=√(AC²+BC²)=√(8+4√3)x=√[(√2)²+(√6)²+2√12]x=(√2+√6)x，（二重根式有化简方法，自己去了解），由三角形面积公式，得AC·BC=CD·AB，得
CD=AC·BC/AB=[(2+√3)x²]/[(√2+√6)x]=(√6+√2)x/4，所以CD/AB=[(√6+√2)x/4]/(√2+√6)x=1/4，
因此AB=4CD。

此题用高中方法求解更快，显然AC=AB·cosA=AB·cos15°，BC=AB·cosB=AC·cos75º，
由AC·BC=CD·AB，得
CD=AC·BC/AB=AB·cos15º·cos75º=AB·0.5·[cos(75º-15)+cos(75º+15)]=0.5·AB·cos60º=AB/4
所以AB=4CD。祝学习愉快