Question

设连续函数f(x)满足f(x)+2∫(x上0下)f(e)dt=x的平方 ,求f(x)

Answer 1

f(x) + 2∫[0→x] f(t) dt = x²
题是这样的吧？

两边求导：f '(x) + 2f(x) = 2x
将x=0代入原式得：f(0)=0
这样问题转化为微分方程的初值问题

这是一阶线性微分方程，套公式即可
f(x)=e^(-∫ 2dx)[∫ 2xe^(∫ 2dx) dx + C]
=e^(-2x)[∫ 2xe^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[∫ x de^(2x) + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - ∫ e^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - (1/2)e^(2x) + C]
=x - 1/2 + Ce^(-2x)

将f(0)=0代入后得：C=1/2
因此：f(x) = x - 1/2 + (1/2)e^(-2x)

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Answer 2

f(x)+2∫(0,x)f(e)dt=x²
两边求导
f'(x)+2f(e)=2x
f'(x)=2x-2f(e)
f(x)=x²-2f(e)x+C
f(e)=e²-2f(e)*e+C
f(e)=(e²+C)/(1+2e)
f(x)=x²-2(e²+C)x/(1+2e)