Question

如图，过点S引三条不共面的直线SA,SB,SC，其中角BSC等于90度，角ASC等于角ASB等于60

度，且SA等于SB等于SC等于a。求证：平面ABC垂直平面BSC

Answer 1

取BC的中点为D。
∵SB＝SC、D∈BC且BD＝CD，∴BC⊥SD。
∵SA＝SB＝SC、∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△SAB、△SAC都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，
又D∈BC且BD＝CD，∴AD⊥BC。

∵SB＝SC＝a、∠BSC＝90°，∴BC＝√2a，又BD＝CD，∴SD＝BD＝（√2/2）a，
∴AD^2＝AB^2－BD^2＝a^2－（1/2）a^2＝（1/2）a^2，
∴SA^2＝SD^2＋AD^2，∴AD⊥SD。

∵AD⊥BC、AD⊥SD、SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC，而AD在平面ABC上，
∴平面ABC⊥平面BSC。