四边形ABCD是正方形,M是BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N,求AM=MN
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证明：连接AC,AN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN
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∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
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∴△AMN为等腰直角三角形
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