Question

如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．

（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

我来详细的证一下！

解：（1）

[用公式法]，a=1，b=-2，c=c

- b/2a=1（即A的横坐标为1）

∵A在直线y=x-5上

把x=1代入y=x-5中

y=-4

∴A（1，- 4）

（2）∵顶点A（1，-4）

∴设解析式为y=a（x-1）²-4

∵y=x²-2x+c=（x²-2x+1）+c-1=（x-1）²+c-1

∴（x-1）²+c-1=a（x-1）²-4

c-1=-4

c=-3

∴y=x²-2x-3

∵抛物线与y轴交于点B

∴把x=0代入y=x²-2x-3中

y=-3

∴B（0，-3）

∵抛物线与x轴交于点C，D

∴把y=0代入y=x²-2x-3中

（x-3)(x+1)=0

∴x1=3，x2=-1

∵C点在x轴负半轴，D点在x轴正半轴

∴C（-1,0）D（3,0）

（三条边分别用勾股定理求出长度）

AB= √2 ， BD= 3√ 2  ，AD=2√5 

∵ AB²+BD²= 2+18=20=AD²

∴△ABD是直角三角形

或者看下图：不过没那么完整

 

     

 

 

真是费功劳呢！！！谢谢大家支持！

   

Answer 2

易知抛物线对称轴为x=1所以定点为x=1与y=x-5的交点所以为A（1，-4）从而c=-3
从而B（0,-3）D（3,0）AB=根号2AD=根号20BD=根号18 所以是直角三角形
存在过D做AB的平行线得y=-x+3 那么P为（4，-1）

Answer 3

（1）∵ y=x²-2x+c = (x-1)²+c-1 ∴ 顶点为 （1，c-1）
∵ 顶点A在直线l：y=x-5上． ∴ c-1 =1-5 ∴ c= - 3 ∴ 顶点A的坐标（1，-4）
（2） y=x²-2x-3 当X=0 时 Y = - 3 当 Y=0 X= -1 或 X=3
∴与y轴交于点B（0, -3） 与x轴交于点C（-1,0）D（3,0）
AB= 根号2 BD= 3倍根号 2 AD=2倍根号5
∵ AB²+BD²= 2+18=20 AD²=20 ∴AB²+BD²= AD² ∴△ABD是直角三角形
（3） 存在
当四边形ABDP是平行四边形时，它也是矩形 。过P作PM⊥X轴于M 易求PM=DM=1
∴ P（4，-1）
当四边形APBD是平行四边形时 过P作PN⊥Y轴于 N 易求PN=AN=2
∴ P（-2，-7）

Answer 4

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