Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
PS:本人初二上

Answer 1

你们学习了圆没？
因为三角形ABC是直角三角形，所以A,B,C在以BC中点为圆心，BC一半为半径的圆上
因为三角形BCE是直角三角形，所以E,B,C在以BC中点为圆心，BC一半为半径的圆上
这样A,B,C,E四点共圆，所以∠AED=角ACB=45°

追问

没有

追答

下班了，有时间再帮你证明

追问

额呢

追答

取BC中点F,连接AF,EF,在直线EF上F外取一点G
因为三角形ABC,EBC是直角三角形，F为斜边的中点，所以有BF=CF=AF=EF
然后用外角知识
有角GFB=角FBE+角FEB=2∠FEB
∠GFA=∠FAE+∠FEA=2∠FEA
所求的∠AED=∠FEA-∠FEB=(∠GFA-∠GFB)/2=∠AFB/2=45°
希望不晚

Answer 2

往证：∠AED=45°
证明：连结EA
在△ABD与△ECD中，∠ADB=∠EDC，∠A=∠E
所以△ABD∽△ECD
所以CD:DB=ED:DA
在△CDB与△EDA中，CD:DB=ED:DA
所以△CDB∽△EDA
所以∠BCD=∠AED=45°
得证。
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诚挚为你解答——来自广东广雅中学知识团队

追问

相似没学

追答

本题的解答必须建立在相似的基础上。
你非得不用相似的话也行，只不过是先通过公设得有两对角对应相等的三角形剩下的一个角相等。再证明平行线分线段成比例，再推得两边比值对应相等的三角形三个角相等。再证明这道题。
总的来说都是从无到有，从公理到定理。没得说不用相似定理的。

追问

好深奥。。。。相似九下的。。

追答

……关键是相似其实都是从其他东西推出来的啊！一切的高深理论都是从基础公理推得的。所以不存在说不能用什么定理的说法。只能说不能直接用。那你说不能直接用相似，那就证明平行线分线段成比例啊，不就可以解了。但是本质上还是相似。

Answer 3

证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACF．
在△ABD与△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE．
在△BCE与△BFE中， ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
即CE= CF，
∴CE= BD．

追问

你这是同一个问题吗？

追答

∠AED的大小不变，始终是45°证明：
∵∠BAD=∠CED=90°，∠ADB=∠EDC
∴△ADB∽△EDC
∴AD/DE=BD/DC
∴AD/BD=ED/CD
∵∠ADE=∠BDC
∴△ADE∽△BDC
∴∠AED=∠ACB=45°

Answer 4

∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACF．
∴△ABD≌△ACF∴BD=CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE．
∴△BCE≌△BFE∴CE=EF，
CE= CF，
∴CE= BD．