Question

在三棱锥P-ABC中，底面ABC为∠ABC＝90°的直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC,且PA＝AC＝

在三棱锥P-ABC中，底面ABC为∠ABC＝90°的直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC,且PA＝AC＝BC＝1.(1)求证：BC⊥侧面PAC；(2)若E为侧棱PA的中点，求三棱锥E-ABC的体积

Answer 1

解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=12BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=12AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=12AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=DEAD=BC2AD=24，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为24．
（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．
这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．