这题不会了,求解

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tllau38
高粉答主

2022-06-08 · 关注我不会让你失望
知道顶级答主
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f(x) = ∫(1->x) lnt/(1+t) dt

To prove: f(x) + f(1/x) =(1/2)(lnx)^2
solution:
let
u=1/t
du = -(1/t^2) dt
dt = -du/u^2
t=1, u=1
t=1/x , u= x
f(1/x)
=∫(1->1/x) lnt/(1+t) dt
=∫(1->x) [ln(1/u)/(1+1/u)] .(-du/u^2)
=∫(1->x) lnu/[u(1+u)] du
=∫(1->x) lnt/[t(1+t)] du
f(x)+f(1/x)
=∫(1->x) lnt/(1+t) dt +∫(1->x) lnt/[t(1+t)] du
=∫(1->x) (t+1).lnt/[t(1+t)] . dt
=∫(1->x) lnt/t dt
=∫(1->x) lnt dlnt
=(1/2)[ (lnt)^2]|(1->x)
=(1/2)(lnx)^2
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