Question

x>0,y>0,x+2y=1,求(x+1)(y+1)/xy最小值

解题思路以及解题方法求指导

Answer 1

上面是我第一眼的思路，主要是在合适的地方使用x+2y=1这个条件，化出齐次式。x，y＞0这个条件也是非常重要，否则不好用基本不等式。取等条件你可以自行验证，显然是能取到的。

但上面的思路可以优化，题目条件可以用得更早，齐次式可以更快化出，所以我比较推荐下面的做法：

Answer 2

二元化一元，这是万能方法，函数思想解决
x=1-2y>0,得0<y<1/2,
(x+1)(y+1)/xy=(1+1/x)(1+1/y)=[1+1/(1-2y)](1+1/y)=(2y^2-2)/(2y^2-y)
=1+（y-2）/(2y^2-y),
令y-2=t属于（-2,-3/2）,y=t+2
原式=1+t/(2t^2+7t+6)=1+1/(2t+6/t+7）≥1+1/7-4√3)=1+(7+4√3)=8+4√3

追问

请问从[1+1/(1-2y)](1+1/y)是如何得出=(2y^2-2)/(2y^2-y)以及=1+（y-2）/(2y^2-y)的，还有最后的结论原式=1+t/(2t^2+7t+6)=1+1/(2t+6/t+7）≥1+1/7-4√3)=1+(7+4√3)=8+4√3这一步没看懂，基础知识比较薄弱，请赐教

Answer 3

X>；已知；0，Y>；0，X+2Y=XY，X+2Y=XY计算：（1）XY最小值（2）X+Y最小值（1）XY=X+2Y≥2√（2XY）√√×≥XY≥2√√≥2√2，X=4，Y=2时XY≥8，X=4，Y=2时等号。即x y的最小值为8（2）x+2y=x y 1/y+2/x=1x+y=（x+y）（1/y+2/x）（1/y+2/x）≥≥x/y+2/x，只有当x/y=2y/x时等号才为真，因此x+y的最小值为2√2+3

Answer 4

X>；0，y>0，X+2Y=XY求：（1）XY的最小值（2）X+y（1）的最小值XY=X+2Y≥ 2.√ （2XY）√ XY≥ 2.√ 2，所以XY≥ 8当x=4，y=2时，等号成立，即XY的最小值为8（2）x+2Y=XY 1/y+2/x=1 x+y=（x+y）（1/y+2/x）≥ X/y+2Y/X+1+2≥ 2.√ 2+3当且仅当x/y=2Y/x时，等号成立，因此x+y的最小值为2√ 2 + 3

Answer 5

X>；0，y>0，X+2Y=XY求：（1）XY的最小值（2）X+y（1）的最小值XY=X+2Y≥ 2.√ （2XY）√ XY≥ 2.√ 2，所以XY≥ 8当x=4，y=2时，等号成立，即XY的最小值为8（2）x+2Y=XY 1/y+2/x=1 x+y=（x+y）（1/y+2/x）≥ X/y+2Y/X+1+2≥ 2.√ 2+3当且仅当x/y=2Y/x时，等号成立，因此x+y的最小值为2√ 2 + 3