Question

已知函数f(x)=lnx-a/x(a∈R)

1）判断f（x）在定义域上的单调性
2）若f（x）在[1,e]上的最小值为2，求a的值

Answer 1

1、
f‘(x)=1/x+a/x²=(x+a)/x²，定义域为x>0
（1）a≧0时，f'(x)>0，所以，f(x)在定义域上单调递增；
（2）a<0时，f'(x)>0，得：x>-a，所以，f(x)在(0,-a)上递减，在(-a,+∞)上递增；

2、
（1）a≧0时，f(x)在[1,e]上递增，则最小值为f(1)=-a=2，得：a=-2，舍去；
（2）a<0时，
①-a≦1，即a≧-1时，f(x)在[1,e]上递增，则f(1)=-a=2，得：a=-2，舍去；
②1<-a<e，即-e<a<-1时，f(x)在[1,-a]上递减，在[-a,e]上递增，则f(-a)=2，
即：ln(-a)+1=2，得：a=-e，舍去；
③-a≧e，即a≦-e时，f(x)在[1,e]上递减，则f(e)=2，即：1-a/e=2，得：a=-e；可取；
综上，a=-e

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

(1)函数f(x)=lnx-a/x定义域为（0，+∞）
f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2
①a≥0时，f'(x)>0，所以，f(x)在定义域上单调递增；
②a<0时，f'(x)>0，得：x>-a，所以，f(x)在(0,-a)上递减，在(-a,+∞)上递增；
(2)f'(x)=(x+a)/x^2,当a>-1时,x+a>0恒成立,所以在[1,e]递增,
此时最小值=f(1)=-a=2,所以a=-2(舍)
a<-e时,f'(x)<0恒成立,于是f(x)最小值=f(e)=1-a/e=2,于是a=-e(舍)
-e≤a≤-1时,f(x)最小值=f(-a)=ln(-a)+1=2,所以ln(-a)=1,所以-a=e,
所以a=-e

Answer 3

(1)
函数的定义域为x>0
f'(x)=1/x-a
若a<0,则f'(x)恒>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增
若a>0,则f'(x)在(0,1/a)上大于0，在(1/a,+∞)上小于0，则f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减
(2)
根据(1)的结论：
若1/a>2,即a<1/2,则f(x)在[1,2]上递增，最小值为f(1)=-a
若1/a<1,即a>1,则f(x)在[1,2]上递减，最小值为f(2)=ln2-2a
若1<1/a<2,即1/2<a<1,则最小值为f(1)、f(2)中更小的一个
当-a<ln2-2a，即1/2<a<ln2时，最小值为f(1)=-a
当-a>ln2-2a，即ln2<a<1时，最小值为f(2)=ln2-2a