Question

f(x)=（a+1）lnx+ax^2+1,a<-1,在定义域范围内，恒有丨f(x1)-f(x2)丨>=4丨x1-x2丨,求a的取值范围

谢谢啦
要快一点

Answer 1

导数f'(x)=（a+1）/x+2ax，
因为a<-1,x>0,
所以f'(x)<0,即f(x)在（0，+oo）上单调递减，
不妨设x1>x2,则f(x1)<f(x2)，从而有f(x2)-f(x1)>=4(x1-x2),亦即f(x2)+4x2>=f(x1)+4x1,
设g(x)=f(x)+4x，则g(x)在（0，+oo）上递减，
所以g'(x)<=0恒成立，
从而g'(x)=(a+1）/x+2ax+4<0，
得到a<=(-1-4x)/(1+2x^2),
令t=1+4x,则(-1-4x)/(1+2x^2)=-8t/(t^2-2t+9)=-8/(t+9/t-2)>=-8/(6-2)=-2.
当且仅当t=3时取等，此时x=1/2，满足条件。
所以，a<=-2.