Question

初三数学二次函数（大神们，求教，求过程，满意就加分的哟= =）

抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标。

Answer 1

（1）将AC两点带入解析式列方程组：
0=-1-b+c
3=c
解得b=2，c=3
抛物线为：y=-x²+2x+3
第二题马上
（2）点M坐标为（1,0）
设点P坐标为（1，a）
△CMP为等腰三角形有三种情况
① 若CP=PM
CP²=（x-3）²+1
PM²=x²
得（x-3）²+1=x²
解得x=5/3
②若CP=CM
CP²=（x-3）²+1
CM²=10
得（x-3）²+1=x²
解得x=6或x=0（去除）
③若PM=CM
PM²=x²
CM²=10
得x²=10
解得x=±根号10
综上：点P有四个（1,5/3），（1,6），（1，根号10），（1，-根号10）
（3）先求得B点坐标为（3,0）
求得过点B、C的直线方程为y=x+3
设点P的坐标为（x，x+3） 0＜x＜3
则点D的坐标为（x，-x²+2x+3）
△BDC的面积可分为两部分△BDP和△PDC
BD=-x²+2x+3-（x+3）=-x²+x
点C到BD的高为x，点B到BD的高为3-x
△BDC的面积S=1/2×（-x²+x）×（x+（3-x））
=3/2 （-x²+x）
=3/2[-(x-1/2）²+1/4]
当x=1/2时S有最大值3/8
此时点P坐标为（1/2，5/2）