Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A,B两点（A点在B点左侧）

直线L与抛物线交于A,C两点，其中C点的横坐标为2
，点G是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F，使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标（有4个点哟，我找出来3个，求第四个，图解！！！！在线等~）

Answer 1

解:题意得A(-1,0) B(3,0) C(2,-3) G(x,x²-2x-3) F(a,0)
(1)AC AF都是边. 四边形ACGF, 则CG∥AF,则x²-2x-3=-3,得x=0或者2∴GC=2得AF=2故F(-1-2,0)即(-3,0)
(2)AC为边, AF为对角线, 四边形ACFG. 有C G在AF两侧且到AF的距离相等.
∴x²-2x-3=|-3|∴x=1-根号7或者1+根号7
A到C的横坐标变化2-(-1)=3 则G到F横坐标也加3, 得F(4-根号7,0)或者(4+根号7,0)
(3)AC为对角线, AF为边, 四边形AFCG. 则根据对角线互相平分.
x+a=-1+2, x²-2x-3=-3 ∴a=1或者-1故F(1,0)或者(-1,0)
综上,F(-3,0)或者(4-根号7,0)或者(4+根号7,0)或者(1,0)或者(-1,0)

Answer 2

将抛物线方程变形：
y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,
因此，抛物线对称轴为x=1,顶点坐标为（1，-4）;
令y=0，求得A,B两点坐标分别为（-1,0）,（3,0）;
C点横坐标为2,代入抛物线方程，得纵坐标为-3；
因为F点是X轴上的点，如果存在平行四边形，则有如下情况：
①若AF是平行四边形的一条边，则一定有CG‖AF，即抛物线上的动点G纵坐标和C点一致，因此，得知G点坐标为（0，-3）；
所以CG=2，则AF=2，
若F点在A点右边，即F点坐标为（1,0）；
若F点在A点左边，即F点坐标为（-3,0）；

②若AF是平行四边形的一条对角线，则AC为边，
根据两点间斜率公式，得直线AC的斜率k=(-3-0)/(2-(-1))=-1,
因为GF‖AC，所以直线GF的斜率也为-1；
假设GF的方程为y=-x+b,则F点坐标为（0，b）;
设G点横坐标为m，则纵坐标为(-m+b)；
代入抛物线方程得:
-m+b=(m-1)^2-4……………………………⑴
根据两点距离公式可知AC=3√2，因为在平行四边形AC=GF，所以有：
√[(m-0)^2+(-m+b-b)^2]=3√2……… …⑵

联立⑴⑵求解得到
m=3，b=3;或
m=-3,b=9
因此F点的坐标为
（0,3），（0,9）