Question

设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时，f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时，f(x)<=x/(ax+1)，求a的范围

用导数的方法解，方法简便些，谢谢

Answer 1

解：（1）当x＞-1时，f（x）≥xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞-1a，则xax+1＜0，f（x）≤xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤xax+1
（ii）当a＞12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞xax+1
综上，a的取值范围是[0，12]

Answer 2

（1）因为x/(x+1)=1-1/(x+1)，故要证f(x)>=x/(x+1)，即证1-e^(-x)>=x/(x+1)，即e^(-x)<=1/(x+1),显然e^(-x)>0,所以只需证e^x>=x+1,令g(x)=e^x-x-1,对其两边同时求导，得g'(x)=e^x-1，令g‘(x)=0,得x=0,所以g(x)在区间(-Inf,0)上为单调递减，g(x)在区间(0,Inf)上为单调递增，而g(1)=-1,所以g(x)>=-1在区间(0,Inf)上恒成立，故当x>-1时，f(x)>=x/(x+1)，即原命题成立。

（2）方法同上面类似，自己做吧

追问

第二问您能写一下步骤吗？我做出的答案好像不太对，谢谢

Answer 3

（1）因为x/(x+1)=1-1/(x+1)，故要证f(x)>=x/(x+1)，即证1-e^(-x)>=x/(x+1)，即e^(-x)<=1/(x+1),显然e^(-x)>0,所以只需证e^x>=x+1,令g(x)=e^x-x-1,对其两边同时求导，得g'(x)=e^x-1，令g‘(x)=0,得x=0,所以g(x)在区间(-Inf,0)上为单调递减，g(x)在区间(0,Inf)上为单调递增，而g(1)=-1,所以g(x)>=-1在区间(0,Inf)上恒成立，故当x>-1时，f(x)>=x/(x+1)，即原命题成立。