Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A,B两点（A点在B点左侧）

直线L与抛物线交于A,C两点，其中C点的横坐标为2，点G是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F，使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标（有4个点哟，我找出来3个，求第四个，图解！！！！在线等~）

Answer 1

1. 解：（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3
   ∴A（-1，0）B（3，0）
   将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
   ∴C（2，-3）
   ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；
   
   （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
   则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）
   E（x，x2-2x-3）
   ∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-12）2+94，
   ∴当x=
   12时，PE的最大值=94；
   
   （3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+7，0），F4（4-7，0）．
   
   ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
   
   ②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
   
   ③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；
   
   ④如图，同③可求出F的坐标为（4-7，0）．
   综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

Answer 2

y=x²-2x-3 与y=0联立，求得：A(-1, 0) B(3,0)
设C(2,y0) 代入y=x²-2x-3：y0=4-4-3=-3 C(2, -3)
设G(x0,-3) 代入y=x²-2x-3：-3=x0^2-2x0-3 x0=0 x0=2(舍去) G(0, -3)
过AG的直线方程：y=-3x-3
过CF的直线方程：y=-3(x-2)-3 即 y=-3x+3
y=-3x+3 与 y=0联立求得F点的坐标：F(1,0)