Question

高数微积分，题目如图

Answer 1

1. 如果存在 a , 使得 f(a)=0, 则 任意x, f(x)=f(x-a +a)=f(x-a)*f(a)=0, 于是 f 恒为0, 但这与 f'(0)=2 矛盾。 所以 f(x) 不可能为0.
2. 取 x1=x2=0 ==> f(0)=1

对任意x,
lim (t-->0) (f(x+t)-f(x))/t
=lim (t-->0) (f(x)*f(t)-f(x))/t
=f(x) lim (t-->0) (f(t)-1)/t

= f(x) lim (t-->0) (f(0+t)-f(0))/t
=f(x) * f'(0)
=2f(x)
即： f 可导，且， f'(x)=2f(x)
==》 f'/f=2, (lnf(x))'=2 , f(x) = e^(2x+C),
由 f(0)=1 , 得 C=0.
f(x)=e^(2x)

追问

在做积分时为啥不是d(ln |f(x)| )啊

追答

f 可导 ==》连续。 因f 不可能为0， 于是f总大于0.

Answer 2

f(0)=0，1,
如果f（0)=0,则f(X)=常数
f(0)=1
f(x+△x)-f(x)=f(x)[f(△x)-1]
[f(x+△x)-f(x)]/△x=f(x)[f(△x)-1]/△x
由f'(0)=2
f'(X)=2f(x)
解得f(x)=Ce^(2x)
由f(0)=1，得C=1
f(x)=e^(2x)
f‘(x)=2e^(2x)

追问

在做积分时为啥不是d(ln |f(x)| )啊