Question

高数微积分问题如下

Answer 1

(1)连续时有lim[x->0]f(x)=f(0)
lim[x->0]f(x)=lim[x->0] x^m * sin(1/x),注意到sin(1/x)是有界变量,从而x^m必然是无穷小量
所以lim[x->0]f(x)=lim[x->0] x*sin(1/x) x^(m-1),所以m-1>=0,所以m>=1
(2)可导必然连续,所以m>=1
lim[x->0]f'(x)=lim[x->0] [f(x)-f(0)]/x=lim[x->0] x^(m-1) * sin(1/x),导函数存在必然有m-1>=1,所以m>=2
(3)导函数连续时必然有导函数存在(m>=2),而导函数连续得:lim[x->0]f'(x)=f'(0)
由(2)得:lim[x->0]f'(x)=0
x≠0时,f'(x)=mx^(m-1) * sin(1/x) + x^m * cos(1/x) * (-x^2)
lim[x->0]f'(x)=lim[x->0] mx^(m-1) * sin(1/x) - x^(m-2) * cos(1/x)
=-lim[x->0] x^(m-2) * cos(1/x)=0,所以m-2>=1,所以m>=3