Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P

使得sinPF1F2/sinPF2F1=a/c,则该双曲线离心率取值范围是多少

Answer 1

由正弦定理：sinPF1F2/sinPF2F1=PF2/PF1=a/c
得：PF2=aPF1/c
代入：PF1+PF2=2a
得：(1+a/c)PF1=2a
得：PF1=2ac/(a+c)
知识：椭圆中，PF1∈[a-c,a+c]
所以：a-c≦2ac/(a+c)≦a+c
(a-c)(a+c)≦2ac (a+c)²≧2ac（该式恒成立，不用解）
c²+2ac-a²≧0 同除a²
e²+2e-1≧0
得：e≧-1+√2
所以，离心率的取值范围是：-1+√2≦e<1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

这是以双曲线为前提的····不是椭圆

追答

额~~看错了
由正弦定理：sinPF1F2/sinPF2F1=PF2/PF1=a/c
得：PF1=cPF2/a>PF2
代入：PF1-PF2=2a
得：(c/a-1)PF2=2a
得：PF2=2a²/(c-a)
知识：双曲线中，PF2∈[c-a,+∞)
所以：2a²/(c-a)≧c-a
2a²≧c²-2ac+a²
c²-2ac-a²≦0 同除a²
e²-2e-1≦0
得：e≦1+√2
所以，离心率的取值范围是：1<e≦1+√2

ps：不好意思了，椭圆做多了，思维定势了，题目都没细看，就直接当椭圆做了~~

Answer 2

解：在△PF1F2中，由正弦定理：|PF1|/(sin∠PF2F1)=|PF2|/(sin∠PF1F2)
∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=|PF2|/|PF1|
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)，∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c
∴a/c=|PF2|/|PF1|，而|PF1|+|PF2|=2a
∴|PF1|=2ac/(a+c), |PF2|=2a^2/(a+c)
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)中分母sin∠PF1F2不为0
∴P、F1、F2不可能共线，∴(a-c)<|PF1|
∴(a-c)<2ac/(a+c)，∴a^2-c^2<2ac
∴1-e^2<2e
∴解得：根号2-1<e<1
即该双曲线离心率取值范围是(根号2-1,1)

望采纳！有问题请追问！

追问

为什么（a-c）＜|PF1|

追答

这道题目我一开始就看错题目了，所以你直接忽视我的答案吧