Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-x+1在区间【1,3】上最大值为M(a），最小值为N（a）

设g（a）=M(a)-N(a)求g(a)的解析式。求函数g（a）的单调区间

Answer 1

解：
∵函数f(x)=ax^2-x+1的对称轴方程为：x=1/2a,
∴函数f(x)=ax^2-x+1在[1/2a,3]上为增函数，顶点为：（1/2a，1-1/（4a））
又：∵0<1/3≤a≤1
∴2/3≤2a≤2即1/2≤1/2a≤3/2。
同理：1/4≤1-1/（4a）≤3/4
∴[1]当1≤1/2a≤3/2时，函数f(x)=ax^2-x+1在区间【1,3】上最大值为M(a）＝f(3)=9a-2，最小值为N（a）=f(1/2a)=1-1/(4a)
所以：g(a)=9a+1/(4a)-3,
∵g’(a)=9+1/(4a^2)>0
∴函数g（a）的在[1/3，1]上为单调递增。
[2]当1/2≤1/2a<1时，函数f(x)=ax^2-x+1在区间【1,3】上最大值为M(a）＝f(3)=9a-2，
最小值为N（a）=f(1)=a
所以：g(a)=9a-2-a=8a-2
∵8>0,
∴一次函数g(a)=8a-2为增函数，故g（a）的单调增区间为：[1/3，1]

Answer 2

1、函数f(x)=ax^2-x+1 f(x)`=2ax-1 令f(x)`=0 得x=1/2a
因为1/3≤a≤1所以 所以2/3≤2a≤2即1/2≤1/2a≤3/2 所以1/2a在区间[1,3]上
所以f(x)最小值N(a)=f(1/2a)=1-1/(4a)
f(x)最大值M(a)是f(1)与f(3)中的最大者.而f(1)=a f(3)=9a-2
f(1)-f(3)=a-(9a-2)=2-8a
已知1/3≤a≤1 8/3≤ 8a≤8 -8≤-8a≤ -8/3 -6≤2-8a≤-2/3 于是f(1)-f(3)=a-(9a-2)=2-8a <0 所以有f(1)<f(3) 所以 f(3)是最大者，于是当1/3≤a≤1 M(a)=f(3)=9a-2
于是g(a)=M(a)-N(a)=f(3)-f(1/2a)=9a-2-(1-1/4a)=9a+1/4a-3
2、由g(a)=9a+1/4a-3得g(a)`=9-1/(4a^2)
（1）、由g(a)`>0得9-1/(4a^2)>0 结合 1/3≤a≤1
解得1/3≤a≤1
（2）、由g(a)`<0得9-1/(4a^2)<0 结合 1/3≤a≤1
解得a不存在。
所以在区间[1/3，1]总有g(a)`>0
于是g(a)在区间[1/3，1]上是单调递增函数。