Question

五位数中至少出现一个6且能被3整除的数,这样的五位数有多少个?

Answer 1

12504个
解法一）
首先把所求的五位数分成两类：
【1】万位数字为6者,且能被3整除的五位数皆合乎所求
(9999－0000)÷3＋1＝3334
【2】万位数字不为6者,且能被3整除的五位数
（1）个位数字为6：
［(9999－1002)÷3＋1］－［(999－000)÷3＋1］＝2666
十位数字为6,百位数字为6,千个位数字为6：皆为2666
（2）个、十位数字为6：
［(999－102)÷3＋1］－［(99－00)÷3＋1］＝266
个、百位数字为6,个、千位数字为6,十、百位数字为6,十、千位数字为6,千、百位数字为6：皆为266
（3）个、十、百位数字为6：
［(99－12)÷3＋1］－［(9－0)÷3＋1］＝26
个、十、千位数字为6,个、百、千位数字为6,十、百、千位数字为6：皆为26
（4）个、十、百、千位数字为6：
36666、96666,共2个
2666×4－266×6＋26×4－2＝9170
故合乎所求的五位数共有3334＋9170＝12504
解法二）
全部五位数中3的倍数共(99999-9999)/3=30000个
1,4,7为3k+1,以1表示
2,5,8为3k+2,以2表示
0,3,9为3k,以0表示
不含6且为3的倍数有以下7类
(1)00000,共3^5-3^4=162
(2)11100,共[5!/(3!*2!)]*3^5-(4!/3!)*3^4=2106
(3)12000,共(5!/3!)*3^5-(4!/2!)*3^4=3888
(4)11112,共(5!/4!)*3^5=1215
(5)11220,共[5!/(2!*2!)]*3^5-[4!/(2!*2!)]*3^4=6804
(6)22200,共[5!/(3!*2!)]*3^5-(4!/3!)*3^4=2106
(7)12222,共(5!/4!)*3^5=1215
(1)~(7)共17496个
30000-17496=12504