Question

如图，在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是在Rt△ABC内一点,∠DAC=∠DCA=15°,求证:AB=BD

Answer 1

以AC为边向△ABC外部作等边三角形ACE，连接DE，由∠DAC=∠DCA知DA=DC，又EA=EC，

∴DE是AC的垂直平分线，ED∥AB；

∴∠ADE＝∠BAD=90°-15°=75°，而∠DAE=60°+15°=75°，故DE=AE=AC=AB，

∴ABDE是平行四边形且是菱形，AB=BD。

Answer 2

解：（不好作图，略）以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED（SAS），
∴BA=BD．