Question

请教一个关于函数间断点的问题，麻烦朋友们帮忙指点下~ 谢谢

讨论函数f(x)=1/(x+1)在x=-1 处的连续性。
解：因为f(x)=1/(x+1)在x=-1处没有定义，所以x=-1是f(x)=1/(x+1)的一个间断点，又因为lim(x→-1)[1/(x+1)]=∞，所以点x=-1成为f(x)=1/(x+1)的无穷间断点。
请问，这里所说的“无穷间断点”与一般情况下的间断点有何区别？ 例如，假设函数g(x)=√(x-1)的定义域为[1，+∞]，但我要是求当x趋近与0时函数g(x)的极限，那么x=0是g(x)的无穷间断点？还是就是一般的间断点呢？

刚刚接触高数，多少有些理解上的盲区，望朋友们指点，改正~ 非常感谢~

Answer 1

首先，不管是极限、间断点还是连续点，都有一个要求：函数在该点的空心邻域内有定义。比如高数里经常提到的一个函数sinx/x，它本身在x=0处没有定义，但是在x=0的空心邻域内有定义，所以x=0才是这个函数的可去间断点，而你说的这个情况就是在空心邻域内没定义，这时也不能说他没极限，而是在那里我们根本没法研究这个函数

追问

谢谢，但我还想问下。根据我手里的教材上写的关于间断点的情况是；
1，函数f(x)在点x0处没有定义；
2，lim(x→x0)f(x)不存在；
3，虽然lim(x→x0)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)。
可见，这个定义和你上面所说的“不管是极限、间断点还是连续点，都有一个要求：函数在该点的空心邻域内有定义。”还是有些出入的~

追答

这个就得从极限的定义开始说，函数极限的定义是这样的（以函数在某点处的极限为例）：设函数f(x)在x0某个空心邻域上有定义，A为常数。……（后面一堆希腊字母，打不出来，自己看书）。定义完极限之后，才有连续和间断之分，也就是说，我们研究连续和间断，都是默认了在该点的空心邻域内有定义，否则就超出了研究的范围

Answer 2

在x=1处,y=sin(x)连续
在x=1处,z=(x+1)连续
x=1在f(x)的定义域内,因此,复合函数f(x)=sin(x)/(x+1)在x=1处连续.

追问

谢谢，但是很抱歉。我问的不是这个问题~ 如果可以的话，请在看一遍我的疑问点~