Question

在三棱锥S-ABC中，SA垂直平面ABC，AB垂直BC,DE垂直平分SC，SA=AB=a，BC=根号2a..

（1）求证：SC垂直面BDE （2）求面BDE与面BDC所成二面角大小
D在AC上，E在SC上

Answer 1

1、∵DE是SC的垂直平分线，

∴DE⊥SC，

∵SA⊥平面ABC，AB、AC∈平面ABC，

∴SA⊥AB，

SA⊥AC，

∵SA=AB=a,

∴△SAB是等腰RT△，

∴SB=√2a,

∴SB=BC=√2a,

∵CB⊥AB，

∴根据三垂线定理，

BC⊥SB，

∴△BSC是等腰RT△，

∵E是SC的中点，

∴BE是△BSC中SC边上的高，

即BE⊥SC，

∵BE∩DE=E，

∴SC⊥平面BDE。

2、在平面SAC上作EF⊥AC，垂足F，在底面ABC上作FH⊥BD，垂足H，连结EH，

则EF是△CSA的中位线，F是AC的中点，

∴EF//SA，EF=SA/2，

∵SA⊥平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，

∵FH⊥BD，

∴EH⊥BD，（三垂线定理）

∴〈EHF是二面角E-BD-C的平面角，

根据勾股定理，AC=√3a,SC=2a,

∵〈DEC=〈SAC=90°，

〈ECD=〈ACS，（公用角），

∴RT△CED∽RT△CAS，

∴EC*SC=CD*AC，

a*2a=CD*√3a,

CD=2√3a/3,

DF=CD-CF=（2/3-1/2）*√3a=√3a/6,

cosA=√3/3，

在△ABD中，根据余弦定理，BD=√6a/3,

作△ABC斜边上的高BG，

BG=AB*BC/AC=√2a/√3=√6a/3,

FH*BD=DF*BG,(等面积原理）

FH=√3a/6,

EF=SA/2=a/2,

tan<EHF=EF/FH=(a/2)/(√3a/6)=√3，

∴〈EHF=60°，

∴平面BDE与平面BDC所成二面角大小为60度。

Answer 2

(1)证：因为SA=AB=a，SA⊥面ABC，所以，SAB为等腰Rt△，BS=(√2)a=BC，即△CBS为等腰△，SC为底，且E为底边中点，所以，BE⊥SC，而DE⊥SC，因此，SC⊥面BDE。
(2)解：由SA⊥面ABC，AB⊥BC及AB=a，BC=(√2)a，得AC=(√3)a，从而知SC=2a，且∠SCA=30度。DE⊥EC，DE=(√3)a/3，DC=2(√3)a/3。待续{我有急事，先走了，回来再解}