Question

如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC=3,圆O过点A和BC的中点D,交AB于E,交AC与F，圆O的半径为2分之跟5

（1）求证：角EFD=45° （2）求证：AC=AE+AF （3）求tan角ADE的值（AF＞AE）

Answer 1

解：

(1)证明:

∵∠BAC=90°

∴EF为⊙O的直径,∠EDF=90°

 

∵∠1=∠2 [AEDF四点共圆]

∠EAD=∠FCB

AD=DC

 

∴△AED≌△CFD

∴DE=DF...①

AE=FC....②

∴△DEF为Rt等腰△

∴∠EFD=45°

 

(2)证明

AC=AF+FC

由②得AC=AF+AE

 

(3)

易得∠ADE=∠AFE(同弧所对圆周角相等)

tan(∠AFE)=AE/AF

设AE=x

则AF=3-x

同时EF=√(5)

则x²+(3-x)²=5

解得x=½或x=4(舍去,此时AF＜AE)

∴tan(∠ADE)=tan(∠AFE)=x/(3-x)=⅕