Question

设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分？

Answer 1

摘下来的：邦你分析下,
先证必要性（如果是等差,则...）；（所以可以）设数列an的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立．
若d≠0,则==．再用数学归纳法证明
充分性：
所述的等式对一切n∈N都成立,首先在等式①---------------取n=3
两端同时乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,
所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d．-------这个公差暂时只是a1 a2 a3的
假设ak=a1+（k-1）d,-----这个假设是指等差规律已进行到了k,　即a1 a2 a3 a4 ...ak是公差为d的等差数列,但ak+1还需要证明；下一步就是要证明ak+1 =a1+kd,从而证明等差规律可以更推进一步到k+1的位置.
当n=k+1时,观察如下二等式：②,
=将②代入③得,
在该式两端同时乘a1akak+1,得（k-1）ak+1+a1=kak,
把ak=a1+（k-1）d代入后,整理得ak+1=a1+kd．------好了.假设等差规律到k成立,则等差规律到k+1也是成立的.依此归纳,原题结论得证.
由数学归纳法原理知对任何n∈N,都有++…+=．
所以,{an}是公差为d的等差数列．,4,设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分
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