Question

已知函数f(x)＝12x2−(1+a)x+alnx，其中a＞0．？

Answer 1

解题思路：（I）先求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在常数a，使函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，再利用零点存在定理得出不等式： lna≥ a 2 +1 ，下面利用 导数证明此不等式不成立，出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（Ⅰ）f′(x)＝x−(1+a)+
a
x＝
x2−(1+a)x+a
x＝
(x−1)(x−a)
x
令f'（x）=0，得到x1=1，x2=a．
（1）当a=1时，f（x）在定义域单调递增，没有极小值点．
（2）当a＞1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极大值点，x=a是函数的极小值点；
（3）当0＜a＜1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极小值点，x=a是函数的极大值点；
综上所述．当0＜a＜1时，x=1是函数的极小值点；当a＞1时，x=a是函数的极小值点；
（II）若曲线y=f（x）在点A（m，f（m）），B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，则f′（m）=0，f′（n）=0，
由（I）的讨论知，m=1，n=a或m=a，n=1，f（1）=-[1/2]-a，f（a）=-
a2
2-a+alna．
∴函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，且单调，则有f（1）f（a）≤0，
即（-[1/2]-a）（-
a2
2-a+alna）≤0，
∴（
a2
2+a-alna）≤0，故lna≥
a
2+1，
下面证明此不等式不成立．
令g（a）=lna−
a
2−1，则g′（a）=[1/a]-[1/2]=[2−a/2a]，
于是当a∈（0，2），g′（a）＞0，a∈（2，+∞），g′（a）＜0，
所以，g（a）在（0，2）单调递增，在[2，+∞）单调递减，
所以函数g(a)＝lna−
a
2−1在a=2取得最大值g（2）=ln2-2＜0．
所以g(a)＝lna−
a
2−1≤g(2)＜0，所以lna＜
a
2+1．
故不存在满足要求的常数a．-------（12分）
,4,f'(x)=2x-1+a/x=(2x²-x+a)/x
因为定义域是x>0，△=1-8a
所以
当a≥1/8时，△≤0，所以（0，+∞）递增；
当a<1/8时，（0，(1+√(1-8a))/4)递减，（(1-√(1-8a))/4，+∞）递增,2,f′(x)=x-(1+a)+ax=(x^2-(1+a)x+a)x=(x-1)(x-a)x
由于x>0,a>0
①当0 ②当a>1时，f(x)在x=a时取得极小值，为(-1/2 a^2-a+alna),0,已知函数 f(x)＝ 1 2 x 2 −(1+a)x+alnx ，其中a＞0．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点A（m，f（m）），B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，问是否存在常数a，使函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点？如果存在，求a的值：如果不存在，请说明理由．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑．