Question

已知a,b是正常数,若0<x<1,则函数f(x)=a/x+b/(1-x)的最小值为

Answer 1

f(x)=a/x+b/(1-x)-a-b+a+b
=a(1-x)/x+bx/(1-x)+(a+b)
因为 0<x<1所以 0<1-x<1
即 x/(1-x) 和 (1-x)/x 都 >0
而 a、b也是正常数，所以根据基本不等式有：
a(1-x)/x+bx/(1-x)>=2√(a(1-x)/x*bx/(1-x))=2√(ab)
即
f(x)>=2√ab+a+b
这时 a(1-x)/x=bx/(1-x)
解得 x=√a/(√a+√b)
f(x)的最小值是 2√ab+a+b