Question

(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是？x趋于0

Answer 1

这道题没那么复杂。 我来个简单解法：
sinx~x所以， （sinx）^2~x^2, tanx= sinx/cosx
就有(tanx-sinx)/[(sinx)^3]=(sinx/cosx-sinx)/[(sinx)^3]=(1/cosx-1)/[(sinx)^2]=(1-cosx)/(x^2cosx)
而x趋于0 cosx=1所以原式等于（1-cosx）/x^2
利用1-cosx~1/2x^2
所以结果为1/2

追问

那1-cosx不是等于0了？？？

追答

你理解错了。 x趋于0时， cosx=1 是消去分母， 因为它不影响原式极限。 1-cosx 作为分子是不能代入求解的， 多看下等价无穷小相关内容

Answer 2

方法一
解：求极限x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]

=lim(1/cosx-1)/(sinx)^2
=lim(1-cosx)/(sinx)^2cosx
=lim2(sin(x/2))^2/(sinx)^2
=(1/2)lim[(sin(x/2))^2/(x/2)^2][x^2/(sinx)^2]
=1/2

方法二
求极限x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]
解：x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]=x➔0lim[(1/cos²x)-cosx]/(3sin²xcosx)
=x➔0lim[(1-cos³x)/(3sin²xcos³x)=x➔0lim[(3cos²xsinx)/(6sinxcos⁴x-9sin³xcos²x)]
=x➔0lim[(3cos²x)/(6cos⁴x-9sin²xcos²x)]=3/6=1/2

追问

方法1
lim(1-cosx)/(sinx)^2cosx
=lim2(sin(x/2))^2/(sinx)^2
cos x 呢？会不会啊你~~~不要只会复制

追答

lim[ (1/cosx-1)sinx]/sin^3(x)
=lim[(1-cosx)/cosx]/sin^2(x)
=lim[x^2/2cosx]/sin^2(x)
=1/2
这里用到了x~sinx 1-cosx~x^2/2
不过此题最快的的方法是提取tanx tanx-sinx=tanx（1-cosx） 利用等价无穷小量等价替换下就出来了。

Answer 3

还有方法三、四……