Question

已知函数f(x)=log2 (x^2-ax+4)

(1)若x属于[0,2] 函数f(x)恒有意义，求a的取值范围
(2)函数f（x）在[0,2]上的最大值与最小值之差为1，求a的值

Answer 1

有意义需x^2-ax+4>0
设g（x）=x^2-2a+4
g（0）=4>0 g(2)=8-2a>0 a<4 顶点 -b/2a= a/2>0 a>0
所以0<a<4

(2)g(x)是二次函数开口向上先减后增 g（0）=4 g（2）=8-2a 顶点g（a/2）=4-（a/2）^2
当g（0）=4为最大值时 g（2）为最小值时 要符合题意 g（2）=8-2a =2 a=3
g（a/2）=4-（a/2）^2=7/4 与g（2）为最小值矛盾
当g（0）=4为最大值时 g（a/2）为最小值时 要符合题意 顶点g（a/2）=4-（a/2）^2=2 a=2
g（2）=8-2a =4 与g（a/2）为最小值矛盾
当g(2)=4 为最大值时 g（a/2）为最小值时 g（a/2）=4-（a/2）^2=2 a=2根号2 符合题意
综上所述a=2根号2

Answer 2

(1)若要在x属于【0,2】有意义需x^2-ax+4>0
设g（x）=x^2-2a+4
g（0）=4>0 g(2)=8-2a>0 a<4 顶点 -b/2a= a/2>0 a>0
所以0<a<4

(2)g(x)是二次函数开口向上先减后增 g（0）=4 g（2）=8-2a 顶点g（a/2）=4-（a/2）^2
当g（0）=4为最大值时 g（2）为最小值时 要符合题意 g（2）=8-2a =2 a=3
g（a/2）=4-（a/2）^2=7/4 与g（2）为最小值矛盾
当g（0）=4为最大值时 g（a/2）为最小值时 要符合题意 顶点g（a/2）=4-（a/2）^2=2 a=2
g（2）=8-2a =4 与g（a/2）为最小值矛盾
当g(2)=4 为最大值时 g（a/2）为最小值时 g（a/2）=4-（a/2）^2=2 a=2根号2 符合题意
综上所述a=2根号2

Answer 3

(2)
当a≤0 f(2)-f(0)=1 =》a=0
当0≤a≤2 f(2)-f(a/2)=1 a=0或4（舍）
当2≤a＜4 f(0)-f(a/2)=1 a=2√2或-2√2（舍）
当a≥4 f(0)-f(2)=1 a=3（舍）
综上a=0或2√2