Question

已知函数f（x）=（e∧x）/a—a/（e∧x），（a∈R且a＞0） （1）判断函数f（x）的单调性，并证明；

（2）若函数f（x）的定义域为（—2,2）时，求使f（1-m）-f（m∧2-1）＜0成立的实数m的取值范围。

Answer 1

(1)方法一:设 x1>x2
f(x1)-f(x2)=(e^x1)/a-a/(e∧x1)-(e^x2)/a+a/(e∧x2)
原式通分=[(e^x1)-(e^x2)]/a+{a[(e^x1)-(e^x2)]}/[(e^x1)(e^x2)]
e^x 为增函数 所以 (e^x1)-(e^x2)>0
即 f(x1)-f(x2)>0 又因为 x1>x2
所以 f(x)为增函数
方法二:求导得 f'(x)=(e^x)/a+a/(e^x)
因为 e^x>0 且a>0 所以f'(x)>0
故 f(x)为增函数
(2)由第一问知 f(x)为增函数
若 f(1-m)<f(m^2-1)
则 1-m<m^2-1
又因为f(x)的定义域为(-2,2) 故有
1) 1-m<m^2-1 ...........m<-2 或 m>1
2) -2<1-m<2 ...........-1<m<3
3) -2<m^2-1<2 ..........-3^(1/2)<m<3^(1/2)
解方程组得到 1<m<3^(1/2)