Question

直线l经过抛物线y2=4px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P,Q分别做准线的垂线PR,QS，垂足为R,S如

直线l经过抛物线y2=4px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P,Q分别做准线的垂线PR,QS，垂足为R,S如果/PF/＝a，/QF/＝b，M为RS的中点，则/MF/＝？为什么MF的绝对值等于RS？

Answer 1

答案：|MF|=√(ab)
思路：一方面，由抛物线的定义，容易证明⊿RSF是以∠F为直角的Rt⊿，所以|MF|=|RS|/2
另一方面，在直角梯形PQSR中，|RS|²=|PQ|²-(|PR|-|QS|)²=(a+b)²-(a-b)²=4ab
从而 |RS|=2√(ab)，|MF|=|RS|/2=√(ab)
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根据两个等腰⊿PRF和⊿QSF，六个角相加为360°，∠P+∠Q=180°，余下的四个角的和为180°
所以 ∠PFR+∠QFS=90°，这就证明了∠RFS是直角。

追问

不要复制好不好

Answer 2

抛物线上的点到焦点和准线距离是一样的，
所以PF=PR,QF=QS,那么PRF和QFS都是等腰三角形，
这样通过三条平行线和内错角的关系发现RFS是直角三角形，而MF就是它斜边上的中线，即MF=0.5RS
然后问题转化为切RS长度，以PQ为斜边过Q(或者P）根据你画的图做PR垂线，垂足设O，那么RtPQO中，PQ=a+b，PO=a-b，通过勾股定理QO=RS=4ab
可得MF=2ab