Question

在平面直角坐标系中xoy,已知圆x^2+y^2-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点

在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量与共线 如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由

不要用向量做法！！！向量还没学

Answer 1

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OA +OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0，
整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，
解得-
3
4
＜k＜0，即k的取值范围为(-
3
4
，0)．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

OA
+

OB
=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-
4(k-3)
1+k2
②
又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③
而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ
=(6，-2)．
所以

OA
+

OB
与

PQ
共线等价于（x1+x2）=3（y1+y2），
将②③代入上式，解得k=-
3
4
．
由（Ⅰ）知k∈(-
3
4 ，0)，故没有符合题意的常数k．