Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF⊥CF。
（1）如图2，若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E。
1、求证：DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合）PE⊥PB且PE交直线CD于点E，判断（1） 中的结论1、2是否成立？若不成立，写出相应结论。

Answer 1

⑴  如图，作PH⊥BC ，根据正方形的轴对称性：ΔPBH≌ΔPDF，

∴PH=PF，又∠PHC=∠HCF=∠PFC=90°，

∴四边形PHCF是正方形，

∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°，

∴∠BPH=∠EPF，又∠PHB=∠PFE=90°，PH=PF，

∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚， 

∴PE=PB=PD   ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚，

CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2,,即PC-PA＝√2CE。

(过P作PQ⊥AD于Q，则DF=PQ=AP/√2)

⑵    作PH⊥BC ，ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚  ∴PE=PB=PD   ∴DF=EF，

CE=CF+EF=CF+DF=PC/√2+PA/√2，即PC+PA＝√2CE 。

Answer 2

分析：（1）由正方形的性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故有PA=
根号 2
PG，PC=

根号 2
CF，易得PA=

根号 2
EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：PC=

根号 2
CE+PA；（2）同（1）证得DF=EF，三条线段的数量关系是PA-PC=

根号 2
CE．

解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=

根号 2
PG，PC=

根号2
CF，

∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=

根号2
EF，∴PC=

根号2
CF=

根号2
（CE+EF）=

根号2
CE+

根号2
EF=

根号2
CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC=

根号2
CE+PA；

（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=

根号2
CE．

如图3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=

根号 2
PG=

根号 2
DF=

根号 2
EF，PC=

根号2
CF，∴PA=

根号2
EF=

根号2
（CE+CF）=

根号2
CE+

根号2
CF=

根号2
CE+PC即PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=

根号2
CE．
点评：本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、线段垂直平分线的性质、三角形相似的条件和性质进行有条理的思考和表达能力，还考查按要求画图能力．
选我吧！！(*^__^*) 嘻嘻……