正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF。(1)如图2,若点P在线段OA上...
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF。
(1)如图2,若点P在线段OA上(不与点A、O重合)PE⊥PB且交CD于点E。
1、求证:DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论。
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合)PE⊥PB且PE交直线CD于点E,判断(1) 中的结论1、2是否成立?若不成立,写出相应结论。 展开
(1)如图2,若点P在线段OA上(不与点A、O重合)PE⊥PB且交CD于点E。
1、求证:DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论。
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合)PE⊥PB且PE交直线CD于点E,判断(1) 中的结论1、2是否成立?若不成立,写出相应结论。 展开
2个回答
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⑴ 如图,作PH⊥BC ,根据正方形的轴对称性:ΔPBH≌ΔPDF,
∴PH=PF,又∠PHC=∠HCF=∠PFC=90°,
∴四边形PHCF是正方形,
∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°,
∴∠BPH=∠EPF,又∠PHB=∠PFE=90°,PH=PF,
∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚,
∴PE=PB=PD ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚,
CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2,,即PC-PA=√2CE。
(过P作PQ⊥AD于Q,则DF=PQ=AP/√2)
⑵ 作PH⊥BC ,ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚ ∴PE=PB=PD ∴DF=EF,
CE=CF+EF=CF+DF=PC/√2+PA/√2,即PC+PA=√2CE 。
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分析:(1)由正方形的性质证得△BQP≌△PFE,从而得到DF=EF,由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,故有PA=
根号 2
PG,PC=
根号 2
CF,易得PA=
根号 2
EF,进而得到PC、PA、CE满足关系为:PC=
根号 2
CE+PA;(2)同(1)证得DF=EF,三条线段的数量关系是PA-PC=
根号 2
CE.
解:(1)如图2,延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AB=QF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②如图2,过点P作PG⊥AD.
∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=
根号 2
PG,PC=
根号2
CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=
根号2
EF,∴PC=
根号2
CF=
根号2
(CE+EF)=
根号2
CE+
根号2
EF=
根号2
CE+PA,即PC、PA、CE满足关系为:PC=
根号2
CE+PA;
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=
根号2
CE.
如图3:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=
根号 2
PG=
根号 2
DF=
根号 2
EF,PC=
根号2
CF,∴PA=
根号2
EF=
根号2
(CE+CF)=
根号2
CE+
根号2
CF=
根号2
CE+PC即PC、PA、CE满足关系为:PA-PC=
根号2
CE.
点评:本题是一个动态几何题,考查用正方形性质、线段垂直平分线的性质、三角形相似的条件和性质进行有条理的思考和表达能力,还考查按要求画图能力.
选我吧!!(*^__^*) 嘻嘻……
根号 2
PG,PC=
根号 2
CF,易得PA=
根号 2
EF,进而得到PC、PA、CE满足关系为:PC=
根号 2
CE+PA;(2)同(1)证得DF=EF,三条线段的数量关系是PA-PC=
根号 2
CE.
解:(1)如图2,延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AB=QF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②如图2,过点P作PG⊥AD.
∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=
根号 2
PG,PC=
根号2
CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=
根号2
EF,∴PC=
根号2
CF=
根号2
(CE+EF)=
根号2
CE+
根号2
EF=
根号2
CE+PA,即PC、PA、CE满足关系为:PC=
根号2
CE+PA;
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=
根号2
CE.
如图3:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=
根号 2
PG=
根号 2
DF=
根号 2
EF,PC=
根号2
CF,∴PA=
根号2
EF=
根号2
(CE+CF)=
根号2
CE+
根号2
CF=
根号2
CE+PC即PC、PA、CE满足关系为:PA-PC=
根号2
CE.
点评:本题是一个动态几何题,考查用正方形性质、线段垂直平分线的性质、三角形相似的条件和性质进行有条理的思考和表达能力,还考查按要求画图能力.
选我吧!!(*^__^*) 嘻嘻……
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