Question

若直线y=x+b与曲线y=3-根号下4x-x有公共点,求b的取值（过程）

Answer 1

对曲线Y=3-根号下4X-X^2进行变形：y=3-√(4x-x^2)=3-√[4-(x-2)^2] 显然,由于根号内大于等于0,且小于等于4,故y的取值在1和3之间 有：(y-3)^2+(x-2)^2=4,即曲线为圆的一部分,圆心坐标为（2,3） 易知,曲线表示圆的下半部分 若直线Y=X+B与曲线有交点,则 B≤3(B=3时恰好有一交点,更大时没有） 当直线和半圆相切时,B取到最小值 所以和圆相切的直线L1与当B取最大值时的直线L2的距离为2+√2（直线斜率为1,圆半径为2） 设直线L1交x轴于D点,过D向L2作垂线,其距离显然为2+√2,故两直线在x轴的交点的距离为2+2√2,由于直线L2交x轴于（-3,0） 故L1交x轴于（2√2-1,0） 从而B的最小值为1-2√2 B的取值范围为【1-2√2,3】