Question

已知函数 f(x)=2 3 sinxcosx-2si n 2 x+1 ．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)=2
3 sinxcosx-2si n 2 x+1 =
3 sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6 ），
令 2kπ-
π
2 ≤2x+
π
6 ≤2kπ+
π
2 ，k∈z，解得 kπ-
π
3 ≤x≤kπ+
π
6 ，k∈z．
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-
π
3 ，kπ+
π
6 ]，k∈z．
（2）∵x∈ [0，
π
2 ] ，∴2x+
π
6 ∈ [
π
6 ，
7π
6 ] ，故当2x+
π
6 =
7π
6 ，即x=
π
2 时，函数f（x）取得最小值为-1．
（3）若 f( x 0 )=
6
5 ， x 0 ∈[
π
4 ，
π
2 ] ，则有2sin（2x 0 +
π
6 ）=
6
5 ，sin（2x 0 +
π
6 ）=
3
5 ．
再由（2x 0 +
π
6 ）为钝角可得cos（2x 0 +
π
6 ）=-
4
5 ，
∴sin2x 0 =sin[（2x 0 +
π
6 ）-
π
6 ]=sin（2x 0 +
π
6 ）cos
π
6 -cos（2x 0 +
π
6 ）sin
π
6 =
3
5 ×

3
2 -
-4
5 ×
1
2 =
3
3 +4
10 ．