Question

一道有趣的题，考考你的智商！

Answer 1

分类: 娱乐休闲 >> 脑筋急转弯
问题描述:

已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。

甲问乙：“你知道是哪两个数吗？”

乙说：“不知道。”

乙问甲：“你知道是哪两个数吗？”

甲说：“也不知道”

于是乙说：“那我知道了。”

随后甲也说：“那我也知道了”

请问这两个数是什么？

解析:

允许两数重复的情况下

答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4

不允许两数重复的情况下有两种答案

答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6

答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8

解：

设这两个数为x，y.

甲知道两数之和 A=x+y；

乙知道两数之积 B=x*y；

该题分两种情况 ：

允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；

不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；

当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；

1)由题设条件：乙不知道答案

<=> B=x*y 解不唯一

=> B=x*y 为非质数

又∵ x ≠ y

∴ B ≠ k*k (其中k∈N)

结论(推论1)：

B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)

即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)

证明过程略。

2)由题设条件：甲不知道答案

<=> A=x+y 解不唯一

=> A >= 5；

分两种情况：

A=5，A=6时x，y有双解

A>=7 时x，y有三重及三重以上解

假设 A=x+y=5

则有双解

x1=1，y1=4；

x2=2，y2=3

代入公式B=x*y：

B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)

B2=x2*y2=2*3=6；

得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。

与题设条件："甲不知道答案"相矛盾 ，

故假设不成立，A=x+y≠5

假设 A=x+y=6

则有双解。

x1=1，y1=5；

x2=2，y2=4

代入公式B=x*y：

B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)

B2=x2*y2=2*4=8；

得到唯一解x=2，y=4

即甲知道答案

与题设条件："甲不知道答案"相矛盾

故假设不成立，A=x+y≠6

当A>=7时

∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解

B1=x1*y1=2*(A-2)

B2=x2*y2=3*(A-3)

∴ 符合条件

结论(推论2)：A >= 7

3)由题设条件：乙说"那我知道了"

=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解

即：

A=x+y， A >= 7

B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)

1 <= x < y <= 30

x，y存在唯一解

当 B=6 时：有两组解

x1=1，y1=6

x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)

得到唯一解 x=1，y=6

当 B=8 时：有两组解

x1=1，y1=8

x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)

得到唯一解 x=1，y=8

当 B>8 时：容易证明均为多重解

结论：

当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8

4)由题设条件：甲说"那我也知道了"

=> 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解

综上所述，原题所求有两组解：

x1=1，y1=6

x2=1，y2=8

当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；

同理可得唯一解 x=1，y=4