Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,圆O与AB、AC分别相切于D、E两点,连接BO并延长交AC于P，且AP=2

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,圆O与AB、AC分别相切于D、E两点,连接BO并延长交AC于P，且AP=2，求圆O半径。

用初中，《圆》那部分知识。

Answer 1

解：连接OD、OE、OA.
在Rt△ABC中∠C=90°,AC=8,AB=10
则BC=√AB^2-AC^2=6
CP=AC-AP=8-2=6=BC
又∵∠C=90°
∴△BCP为等腰直角三角形
∴BP=√BC^2+CP^2=6√2
∵EP是圆O的切线
∴∠OEP=90°
又∵∠OPE=45°
∴△OEP为等腰直角三角形
∴OE=EP
∵AB是圆O的切线
∴∠ADO=90°=∠OEP
OE=OD
又∵OA=OA
∴△AOE≌△AOD
∴AE=AD
设圆O半径为r，则OE=OD=r，
PE=OE=r，
OP=√2r，
AE=AP+PE=2+r.
AD=AE=2+r
BD=AB-AD=10-(2+r)=8-r
BO=BP-OP=6√2-√2r.
在Rt△BOD中
BD^2+OD^2=BO^2
即（8-r）^2+r^2=（6√2-√2r）^2
64-16r+r^2+r^2=72-24r+2r^2
整理得8r=8
解得r=1.

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Answer 2

解：设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r，
∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵PC=8-2=6，
∴BC=PC；
∴∠BPC=45°，
∴S△APB=S△APO+S△AOB=S△ABC-S△BCP，
1/2 ×2r+1/2×10r=1÷2×6×8-1÷2×6×6
2r+10r=12，
解得r=1．

Answer 3

设OE=OD=R
因为BC=CP=6 三角形BCP和三角形EPO等腰三角形，并且相似
所以OE=EP=R
三角形AOD全等于三角形AOE
所以AD=AE=R+2，BD=AB-AD=8-R
OP=R*√2，BO=6√2-R*√2
三角形BOD直角三角形，
BD平方+OD平方=BO平方
（8-R）²+R²=(6√2-R√2)²
求得R=1
嘿嘿，385277499@qq.com

Answer 4

r=1.5 需要过程吗？