Question

主对角线上为2n,其两侧的两条线上为n的n阶行列式怎么求

Answer 1

注：下面统一用“”表示下标.
设 Dn ＝
| 2 1 0 …… 0 0 |
| 1 2 1 …… 0 0 |
| 0 1 2 …… 0 0 |
|… … … … … …… … … … |
| 0 0 0 …… 2 1 |
| 0 0 0 …… 1 2 |
则,原式=(n^n)*Dn （把原行列式每一行都提取公因数n出来,可得此结果）
Dn按第一行展开,得
| 2 1 …… 0 0 | | 1 1 …… 0 0 |
| 1 2 …… 0 0 | | 0 2 …… 0 0 |
Dn = 2* | ………………………… | -- 1* | ………………………… |
| 0 0 …… 2 1 | | 0 0 …… 2 1 |
| 0 0 …… 1 2 | | 0 0 …… 1 2 |
= 2*D - D
化简得,Dn - D = D - D ……………………………………（*）
|2 1|
而,D2 = |1 2| = 3 ,D1=|2| = 2
即,D2-D1 = 3 - 2 = 1
∴由（*）式类推得,
Dn - D = D - D = D - D
= …… = D2 - D1 = 1
∴Dn = 1 + D = 1 + 【1 + D】 = 2 + 【1 + D】
=……= (n-2) + 【1 + D1】
= n-2 + 1+2
= n+1
∴ 原行列式 = (n^n)*Dn = (n+1)*(n^n)