Question

∫∫1/√（a^2-x^2-y^2） dxdy D={（x,y)|x^2+y^2≤ax} 答案给的是a(π-2） 求过程详解

Answer 1

令x=r*cosθ，y=r*sinθ
x^2+y^2≤ax
即r^2≤ar*cosθ，所以r≤a*cosθ，θ的范围则是 -π/2到π/2

那么
∫∫1/√(a^2-x^2-y^2) dxdy
=∫(上限π/2,下限-π/2)dθ *∫(上限a*cosθ,下限0) r/√(a^2-r^2) dr
显然
∫(上限a*cosθ,下限0) r/√(a^2-r^2) dr
= -√(a^2-r^2) [代入上限a*cosθ,下限0]
=a -a*sinθ
那么
原积分
=∫(上限π/2,下限-π/2) a -a*sinθ dθ
= aθ +a*cosθ [代入上限π/2,下限-π/2]
= a(π-2)
就是你要的结果

Answer 2

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