Question

如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,交BC边于点E. （1 ）求证ID=BD(2)求证BD2=DA乘ED

Answer 1

（1）∵点I是△ABC的内心

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI

∵∠CBD=∠CAD

∴∠BAD=∠CBD

∴∠BID=∠ABI+∠BAD=∠CBI+∠CBD=∠IBD

∴ID=BD；

2、∵∠EBD=∠CAD=∠BAD

∠D=∠D

∴△ABD∽△BED

∴ED/BD=BD/AD

∴BD²=ED×AD

Answer 2

证明:连接BI,I是△ABC的内心.<BAD=1/2<BAC,<ABI=1/2<ABC
<BID=1/2<BAC+1/2<ABC
因<IBD=1/2<ABC+<DBC
<DBC=<DAC=1/2<BAC=弧DC
<BID=<IBD
所以,ID=BD
2)I是△ABC的内心,AD是角平分线
弧BD=弧DC,<DBC=<BCD
BD=DC
<DBC=<DAC=1/2弧DC,因,<DBC=<BCD
<DAC=<BCD,因<ADC=<EDC
△DEC相似于△ADC
DC/AD=DE/DC
DC^2=AD*DE,因BD=DC
DB^2=AD*DE

Answer 3

（1）连接IB，∵∠BID=∠BAI+∠ABI=1/2∠BAC+1/2∠ABC
而∠IBD=∠IBE+∠EBD=∠IBE+∠CAD=1/2∠ABC+1/2∠BAC
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD
（2）∵∠EBD=∠DAC=∠BAD
∠BDE=∠ADB
∴△BED∽△ABD
∴BD/AD=ED/BD
BD²=DA×ED

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