Question

求微分方程y'+y/x=sinx/x和满足初始条件y（π）=1的特解。

先求通解再特解

Answer 1

解：显然，齐次方程y'+y/x=0的通解是y=C/x (C是积分常数)
于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=C(x)/x (C(x)是关于x的函数)
∵y'=[C'(x)x-C(x)]/x²
代入原方程，得[C'(x)x-C(x)]/x²+C(x)/x²=sinx/x
==>C'(x)=sinx
==>C(x)=C-cosx (C是积分常数)
∴原方程的通解是y=(C-cosx)/x (C是积分常数)
∵y(π)=1
∴(C+1)/π=1 ==>C=π-1
故原方程满足初始条件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x。