Question

这道高数题怎么写？求帮忙。。。。

Answer 1

首先我是用“可交换函数”的方法求的，在别的地方叫什么名字就不知道了。
(1)、对于函数g(x,y)=x^a/a+y^b/b，扩充函数为g(a,b,x,y)=x^a/a+y^b/b
将a与b，x与y同时交换位置，得g(b,a,y,x)=x^a/a+y^b/b
明显g(a,b,x,y)=g(b,a,y,x)，故对于变量此函数为可交换函数，则其极值在
a=b，x=y时取得，又1/a+1/b=1，xy=1(x>0,y>0)，解得：a=b=2,x=y=1
则g(2,2,1,1)=1/2*1^2+1/2*1^2=1/2+1/2=1，故1为其最小值(从极值唯一知为最值，再讨论为最小值，此略).
(2)同样设g(a,b,u,v)=u^a/a+v^b/b-uv
其函数明显为可交换函数，则取极值时有a=b，u=v，又1/a+1/b=1，得a=b=2
代入得：g(2,2,u,v)=u^2/2+v^2/2-uv=1/2(u^2+v^2-2uv)=(u-v)^2/2(这里放宽条件u=v)
明显此函数大于等于0，即u^a/a+v^b/b-uv>=0，证毕。