Question

椭圆方程

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²＝1（a＞b＞0）经过点M（1，3/2），其离心率为1/2，设直线l：y＝kx+m（|k|≤1/2）与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OPAB，其中顶点P在椭圆上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围

Answer 1

椭圆e=c/a=1/2=√(1-b²/a²)，a²=4b²/3；
将点M(1,3/2)代入椭圆C方程：1²/a²+(3/2)²/b²＝1，再将a²=4b²/3代入此式中得3/b²=1，所以b=√3；
a=2√3；——椭圆C方程：x²/12+y²/3＝1；
若直线l：y＝kx+m与C交与A、B两点，则：x²/12+(kx+m)²/3＝1；①
方程①的两根之和：x1+x2=-(2km/3)/(1/12+k²/3)=-8km/(1+4k²)，因为AB和OP互相平分，此值等于P点横坐标；
P点纵坐标亦可由直线l求出：yp=2*[k*(x1+x2)/2+m]=-8k²m/(1+4k²)+2m；
因P位于椭圆C上，其坐标满足C方程：[-8km/(1+4k²)]²/12+[-8k²m/(1+4k²)+2m]²/3=1；②
|OP|²=[-8km/(1+4k²)]²+[-8k²m/(1+4k²)+2m]²=3[-8km/(1+4k²)]²/4+3；{利用②式简化}
|OP|²=48k²m²/(1+4k²)²+3；③
|OP|最小值是√3=b；
当l:AB斜率较小时，P点比较靠近y纵轴；当斜率（绝对值）变大时，|OP|随着增加；
将最大|k|=1/2，代入②式可求的m：(-4m)²/12+m²/3=1，m²=3/5，代入③式得：
最大|OP|=√{48*(1/2)²*(3/5)/[1+4*(1/2)²]²+3}=√(24/5)=2√30/5；
故若|k|≦1/2，√3≦|OP|≦2√30/5；