Question

椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点，OP垂直OQ,求椭圆的离心率取值范围

Answer 1

解：
设椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1；(a>b>0)
所以c²=a²-b²，故左焦点是(-c,0)。

直线PQ通过(-c,0)，方程为y=k（x+c）。P、Q点坐标分别为
y=k（x+c）与x²/a²+y²/b²=1方程组组的解，有
x²/a²+k²（x+c）²/b²=1，则(b²+a²k²)x²+2ca²k²x+a²k²c²-a²b²=0，分别求出坐标。

又设OP直线为y=gx，则OQ直线为y=-x/g。
P点为x²=1/（1/a²+g²/b²），而Q点满足x²=1/（1/a²+1/g²b²）。
也可以求出坐标。

根据k的取值，即可求出c的大小，即由椭圆的离心率为e=c/a=[√（a²-b²）]/a，求出e的范围。