Question

关于x的不等式(m+1)x^2-mx+m-1>0解为一切实数，求m的取值范围

这题能用导数来做吗，让左面的最小值大于0成立

Answer 1

不用导数也能做：

情况1：m=-1
此时不等式(m+1)x²-mx+m-1>0即x-2>0，解集不是R

情况2：m≠-1
要使得(m+1)x²-mx+m-1>0对于一切x∈R恒成立，就要使得m+1>0，且Δ<0
m+1>0　⇒　m>-1
Δ=m²-4(m+1)(m-1)=-3m²+4<0　⇒　m>2√3/3或m<-2√3/3
所以m>2√3/3

综合情况1、2，m的取值范围为m>2√3/3

追问

那要是用导数做的话是不是要分类讨论啊，这样就很麻烦了吧，计算量大啊，是不是一元二次方程式的恒成立都用判别式去做啊，方便啊

追答

用导数求的话，其实最终也是化成m+1>0且Δ0对于一切x∈R恒成立，就要使得f(x)在R上有极小值且极小值大于0

情况1：m=-1
此时f'(x)=1，f(x)在R上无极值

情况2：m≠-1
此时f'(x)=2(m+1)x-m
当x=m/2(m+1)时，f'(x)=0，f(x)的极值为f[m/2(m+1)]=m²/4(m+1)-m²/2(m+1)+m-1=[-m²+4(m-1)(m+1)]/4(m+1)=-Δ/4(m+1)>0
要使得此极值为极小值，就要使得f“(x)=2(m+1)>0
下面就是解不等式m+1>0且Δ<0了

Answer 2

分类讨论，当m=-1时，不成立
m>-1时m^2-4(m+1)(m-1)>0恒成立，然后解不等式
m<-1时m^2-4(m+1)(m-1)<0 然后求解就好了

追问

m>-1时m^2-4(m+1)(m-1)>0恒成立,这个式子怎么来的啊，对上面那个式子求导得不到这个啊。要是求导的要分三种情况讨论，要根据一元二次方程只要让判别式小于0就行，导数来做是不是很麻烦啊，一般一元二次的方程是不是都要根据判别式啊

Answer 3

能,取导后,分情况讨论,不过,我建议,直接讨论原式一次和二次,然后二次,二次项系数大于零,用判别式小于零。得解