求引力势能公式推导过程

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创作者AHLhc3019hw
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2019-08-07 · 学习数学思维,感受数学乐趣
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1、引力势能公式微积分推导过程如下图,mgh适合地面上g不变化的情况,而GMm/r适用于太空。

2、引力势能公式普通推导过程如下:

在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力(做功只与初末位置有关)

然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为M1,M2,相距r1。

当B星体向它们的连心线AB(其实就是万有引力的方向上)向外移动一段距离△r时,

其距离改变为r2 ,r1+△r→r2,考虑△r很微小,可近似为r1=r2。

同时在改变的过程中由于△r很微小,∴它们的万有引力是不变的。

所以:万有引力在由r1+△r→r2所做的功就是W1=Gm1m2/r1²×△r=(Gm1m2/r1r2)×(r2-r1)

=Gm1m2/r1-Gm1m2/r2

同理考虑无穷个这样的△r可得W2= Gm1m2/r2-Gm1m2/r3

W3=Gm1m2/r3-Gm1m2/r4

W4=Gm1m2/r4-Gm1m2/r5

…………………………

WN=Gm1m2/r n-1 -Gm1m2/rn

然后累项相加得W1+W2+W3+W4……+WN=Gm1m2/r1-Gm1m2/rn

因为N趋近于无穷大,所以Gm1m2/rn就为零了∴从原处到无穷远的万有引力做功为-Gm1m2/r1,又因为 W万=EP1-EPN=

-Gm1m2/r1,EPn=0 所以EP1=-Gm1m2/r1 所以得星体A在原来的万有引力势能为EP1=-Gm1m2/r1 ∴对于任意星体都满足E=-GMm/r

扩张资料:

引力势能证明

以地球为例,设地球质量为M,其无穷远处为势能零点,则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球r处时,引力消耗势能做功为

Wp=

其中

为移动过程中的任意微小位移。

对于距离地球x初的质量体m,其引力F=

则当质量m由无穷远处移动到距地球r处,有

Wp=

=

解得Wp=

当质量体m由无穷远处(零势能点)移动到距离地球r处,引力做功Wp=

,即引力势能减少了这么多,则该处的引力势能

Ep=0

=

参考资料来源:百度百科-引力势能

cxl83
推荐于2018-04-24 · TA获得超过2157个赞
知道小有建树答主
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先把问题具体化一下:质点质量为M,求和质点距离为r0处的引力势能。
设无穷远处引力势能为0.设一质量为m的物体从无穷远处移向M,在距离为r处的万有引力
F=GMm/r^2
在这个力的作用下向M移动一小段距离dr,这个过程中可以认为F不变,做功
dW=Fdr=GMmdr/r^2
将上面的式子对r从正无穷到r0积分,可以得到
W=GMm/r0
这就是万有引力对物体从无穷远到r0做的功,也就是物体在该过程中减小的势能,所以物体在r0处的势能(无穷远处为零)
Ep=0-W=-GMm/r0
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